Từ một trò chơi dân gian của trẻ con đến một đề thi toán quốc tế!

Lúc còn nhỏ chúng tôi có một trò chơi dành cho 2 người chơi như sau:
Chúng tôi nhặt 30 viên sỏi để vào một chỗ sau đó lần lượt từng người lấy những viên sỏi sao cho số viên sỏi mỗi lần lấy không vượt quá 5 viên. Ai lấy đươc viên cuối cùng sẽ thắng. Việc nhặt nhưng viên sỏi cho hợp lý để lấy được viên cuối cùng có một quy luật của nó
Nếu một người biết quy luật  chơi với một người không biết quy luật thì lúc nào cũng thắng!
Các bạn nghĩ coi ta phải nhặt thế nào nhé!



Nhiều năm sau tôi tình cờ biết đến một bài toán trong đề thi toán quốc tế( tôi không nhớ năm nào nữa, tôi cũng không nhớ nguyên văn) nhưng đại ý như sau:
Có 2 người chơi một trò chơi là nhặt những viên bi trong một cái hộp. Số bi trong hộp là N (viên). Quy luật chơi là lần lượt từng người lấy bi trong cái hộp đó sao cho số bi mỗi lần lấy không vượt qua X (viên) XAi lấy được viên bi cuối cùng người đó sẽ thắng. Hãy biện luận theo các tham số X,N và thứ tự lúc lấy bi (lấy trước, lấy sau)  để có xác suất chiến thắng là cao nhất.
Tuy là bài toán quốc tế nhưng cũng rất gần gũi. Các bạn giải thử nhé!!!!!!!!!

Nếu một người biết quy luật  chơi với một người không biết quy luật thì lúc nào cũng thắng, việc này là chắc chắn, không có gì phải bàn.

Tuy vậy nếu hai người cùng biết quy luật chơi với nhau thì tùy theo tổng số viên sỏi và số viên được nhặt mỗi lần mà người đi trước có thể thắng hoặc thua. Cụ thể đối với trường hợp 30/5 viên sỏi thì người đi sau luôn luôn thắng, chỉ cần mỗi lần lấy số viên sỏi bằng 6 - x, trong đó x là số viên mà người kia vừa lấy.

Trường hợp tổng quát có N viên, mỗi lần lấy x viên. Nếu N chia hết cho (x+1) thì người lấy sau luôn thắng. Trường hợp trái lại thì người lấy trước sẽ thắng cuộc nếu biết quy luật

Vì vậy trò chơi này chắc chỉ chơi được một lần, tới lần thứ hai chắc chẳng còn gì hứng thú nữa